Exemple de fonction injective et surjective

Sous $f $, les éléments $r, s, t $ ont 2, 2 et 1 préimages, respectivement, de sorte $f $ est surjective. À savoir, supposons que f n`envoie pas deux éléments distincts dans A au même élément de B. Puisque $g $ est injective, $f (a) = f (a`) $. Then (f ^ {-1} (b) = atext {. Mais supposons que ce soit le cas que chaque garçon a été assigné une fille différente, de sorte qu`aucune fille ne dansait avec plus d`un garçon. Pour n`importe quel ensemble $A $ la carte d`identité $i _ a $ est à la fois injective et surjective. En conséquence, nous pouvons définir deux ensembles pour «avoir le même nombre d`éléments» s`il y a une bijection entre eux. Définition 7. Supposons que $A $ et $B $ soient des ensembles non vides dont les éléments $m $ et $n $ respectivement, où $m Le n $. Si une catégorie abélienne a assez d`injectifs, nous pouvons former des résolutions injectives, i. surjectif signifie que chaque «B» a au moins un correspondant «A» (peut-être plus d`un). Supposons que $g (f (a)) = g (f (a`)) $.

En outre, si (f: A To B ) est bijective, alors (range (f) = Btext {,} ) et donc la relation inverse (f ^ {-1}: B To A ) est une fonction elle-même. Si, cependant, nous avons assigné les garçons de telle manière que chaque fille a eu un partenaire de danse (peut-être plus d`un), alors la fonction est appelée surjective. Dire que les éléments du CODOMAINE ont au plus une préimage est de dire que deux éléments du domaine ne sont pas pris au même élément, comme nous l`avons indiqué dans le paragraphe d`ouverture. Maintenant, pensez à $x in M $ comme pigeons, et jetez le pigeon $x $ dans le trou $f (x) $ (également un membre de $M $). Supposons que vous souhaitiez définir ce qu`il signifie pour deux ensembles pour «avoir le même nombre d`éléments». Prenant la réciproque, $f $ est injective si et seulement si pour tous les $a, un` in A $, $f (a) = f (a`) $ implique $a = a` $. Cependant, nous devons aussi aller dans l`autre sens. En fait, une définition d`un ensemble infini est qu`un ensemble $M $ est infini IFF il existe une $g bijection: M To N $ où $N $ est un sous-ensemble approprié de $M $. Par conséquent, (z = g (f (x)) = (g circ f) (x) ) et donc (z Dans range (g circ f) text{. Donc, chaque permutation de fonction nous donne une permutation combinatoire. Puisque $f $ est surjective, il y a un $a Dans un $, tel que $f (a) = b $.

À savoir, il pourrait y avoir plus de filles que de garçons. Tout d`abord, le rappel f peut envoyer deux éléments différents dans A au même élément dans B. Mais supposons qu`il ya assez de garçons pour chaque fille d`avoir un partenaire de danse. Comme nous l`avons établi précédemment, si (f: A To B ) est injective, la restriction de la relation inverse (f ^ {-1} | _ {range (f)}: range (f) To A ) est une fonction. Si (f, g ) sont bijective alors (g circ f ) est également bijective par ce que nous avons déjà prouvé. Belle! Notez que rien dans cette liste n`est répété (car (f ) est injective) et chaque élément de (A ) est répertorié (parce que (f ) est surjective). Ex 4. Si ce n`est pas le cas, fournissez un contre-exemple. Les points de fonction généraux de chaque membre de “A” à un membre de “B”. Dire qu`une fonction $f colon Ato B $ est une surjection signifie que chaque $b in B $ se trouve dans la plage de $f $, c`est-à-dire que la plage est la même que celle du CODOMAINE, comme nous l`avons indiqué ci-dessus. Nous allons donc voir quelques exemples pour comprendre ce qui se passe.

Par exemple, si et, alors la fonction définie par est une fonction parfaitement bonne, malgré le fait que le chat et le chien sont tous deux envoyés au fromage. Let (B_1, ldots, B_N ) être une permutation (combinatoire) des éléments de (Atext {. Puis $f (M) $ est un sous-ensemble strict de $M $, et donc $ | f (M) | < m $. Décrivez $f, g , colon Rto r $ par $f (x) = 3 ^ x $, $g (x) = x ^ 3 $. Dans ce cas, même si un seul garçon est assigné à danser avec une fille donnée, il y aurait encore des filles laissées de côté.